Бетатрон коливання


Стаття: Бетатрон коливання

Бетатрон коливання - швидкі поперечні коливання, що здійснюються частинкою в фокусуючих магнітних полях прискорювача. Бетатрон коливання - основний предмет вивчення електронної оптики, розділу фізики прискорювачів.

Рівняння Хілла Для поперечної фокусування пучка частинок в каналі транспортуванні або в циклічному прискорювачі застосовують елементи, що створюють магнітне поле, лінійно залежне від поперечної координати. Для частинки, що рухається по криволінійній траєкторії в магнітних полях, можемо ввести реперну рівноважну частинку і супроводжуючу декартову систему координат, т.зв. тригранників Серрі-Френе. Відхилення від рівноважної частки у всіх трьох напрямках будемо вважати малими. Тоді, після лінеаризації рівнянь руху частинки в магнітному полі, виявиться, що рух у різних ступенях свободи незалежно, і для двох поперечних координат рух описується парою рівнянь Хілла: Тут, - періодичні функції у разі циклічного прискорювача. - Градієнт магнітного поля, а штрих означає похідну по s - незалежної змінної, елементу дуги рівноважної орбіти. Твір ведучого поля на радіус кривизни називають магнітною жорсткістю, яка однозначно пов'язана з енергією частинок співвідношенням, де - заряд частинки. Для одновимірного руху рішенням рівняння Хілла є квазіперіодичні коливання. Рішення може бути записано у вигляді, де - бета-функція Твісса, - набіг Бетатрон фази, - інваріантна амплітуда. Часто також замість бета-функції використовується т.зв. функція Флоке, яка є огинаючої траєкторій частинок. Якщо рівняння руху вирішується для каналу транспортування, то конкретний вид бета-функції визначається початковими умовами на вході в канал. Якщо вивчається динаміка в циклічному прискорювачі, то обвідна і бета-функція є періодичними функціями. Можливість параметризованим рішення рівняння Хілла описаним вище способом обумовлено теоремою Флоке.

Матричний формалізм Оскільки рівняння Хілла лінійно, можливо і зручно застосовувати матричний формалізм. Складемо з пари змінних вектор, для якого рішення може бути записано в матричному вигляді: де матриця називається транспортною матрицею. Як правило, магнітні поля прискорювача уздовж руху пучка можна описати кусочно-постійним чином, як послідовність магнітних елементів (дипольний магніт, квадрупольному лінза, порожній проміжок). Кожен магнітний елемент, з точки зору динаміки частинок, описується своєї транспортної матрицею. Наприклад, для одновимірного руху можна виписати матриці: порожнього проміжку довжиною L: або квадрупольної лінзи: Послідовність декількох магнітних елементів описується, відповідно, твором їх матриць (складених справа наліво!):. Все кільце циклічного прискорювача являє собою період, з точки зору фокусування частинок, і описується так званої оборотної матрицею. Внаслідок теореми Ліувілля про збереження фазового об'єму всі транспортні матриці мають властивість сімплектічності, що для одновимірного руху і матриць 2 × 2 означає одиничний детермінант:.

Стійкість коливань

Слабка фокусування Розглянемо так званий азимутально-симетричний прискорювач, тобто машину, фокусування якої не залежить від руху вздовж кільця. Тоді неважко бачити, що рівняння Хілла перетворюються на рівняння звичайного гармонійного осцилятора, а рішенням будуть або стійкі гармонійні коливання, або нестійкі гіперболічні функції, якщо. Часто замість градієнта поля G або жорсткості фокусування k вводять безрозмірний показник спаду. В результаті, умовою стійкості в азимутально-симетричному прискорювачі одночасно по двох поперечним координатам буде, тобто . І хоча реальний прискорювач ніколи не має ідеальну азимутальной симетрією (через необхідність розмістити прискорює резонатор, инжекцию частинок та ін.) Перше покоління циклічних прискорювачів було побудовано з дотриманням цього принципу, по суті, локального умови одночасної стійкості по обидва ступенями свободи. Цей принцип згодом був названий слабкою фокусуванням. Для азимутально-симетричною машини легко розрахувати структурні функції, наприклад бета-функція прямо пропорційна радіусу магніту, а оскільки розмір пучка пропорційний твору обвідної на еміттанс, то із зростанням енергії пучка, а значить і розміру прискорювача, неминуче збільшується й розмір пучка (а з ним - вакуумна камера і розмір магнітних елементів). Останній слабофокусірующій прискорювач у фізиці високих енергій, протонний синхрофазотрон в Дубні на енергію 10 ГеВ мав вакуумну камеру, в якій міг рачки пролізти людина, а вага магніту ведучого поля був понад 30000 тонн.

Сильна фокусування Принцип сильного фокусування можна зрозуміти на наступному прикладі: якщо поставити один за одним на деякій відстані дві тонкі лінзи, одну фокусуючу другий дефокусірующую, то утворений дублет за деяких умов може виявитися фокусирующим. Іншими словами, локальна "нестійкість" (дефокусування) не обов'язково руйнує глобальну стійкість. Розглянемо матрицю (для простоти 2 × 2) періоду фокусуючий структури прискорювача, оборотну матрицю M (s). Для неї можна побудувати пару комплексно-сполучених власних векторів і пару власних чисел, де - набіг Бетатрон фази за один оборот, - безрозмірна частота Бетатрон коливань. Якщо вектор початкових значень розкласти по базису власних векторів, то через оборот відхилення частинки буде одно, через n оборотів. Зрозуміло, що для забезпечення стійкості, тобто відсутності наростання амплітуди коливань, необхідно, щоб, чи іншими словами. Фізи...